Создан заказ №3398703
1 декабря 2018
Предприятие выпускает два вида продукции А1 и А2 используя при этом три вида сырья В1
Как заказчик описал требования к работе:
Работа должна быть набрана в редакторе Word . Решения должны содержать пояснения и обоснования всех проделанных шагов. При выполнении и оформлении работы пользуйтесь Методическими указаниями для решения задач.
Фрагмент выполненной работы:
Предприятие выпускает два вида продукции А1 и А2 используя при этом три вида сырья В1,В2,В3. Известны запасы сырья равные b1?b2?b3 соответственно. Расход сырья вида Bi на производство единицы продукции Аj равен aij. Доход от реализации продукции Аj составляет со условных единиц. Требуется составить такой план производства продукции, при котором доход будет максимальным.
Составить стандартную модель данной задачи и решить ее графическим методом. (работа была выполнена специалистами Автор 24) Составить двойственную задачу и решить ее с помощью теорем двойственности. Решить задачу симплекс-методом.
А1
А2
bi
B1 a11=1 a12=3 21
B2 a21=2 a22=3 24
B3 a31=2 a32=1 20
cj
4 3
Решение.
Обозначим через х1 и х2количествоизделий первого и второго вида в плане предприятия. Поскольку производство продукции ограничено только сырьем каждого типа Bi, то получим условия:
x1+3x2≤21,2x1+3x2≤24,2x1+x2≤20,0≤x1,x2≥0,
Переменные х1 и х2 не могут быть отрицательными по смыслу задачи. Вычислим прибыль от реализации продукции и получим:
fx1,x2=4x1+3x2→max,
Решим ее графическим методом.
Построим область допустимых решений, т.е. решим графически систему неравенств.
Границей неравенства x1+3x2≤21 является прямая x1+3x2=21, построим ее по двум точкам:
х1
0 21
х2
7 0
Произвольная точка (0; 0) удовлетворяет неравенствуx1+3x2≤21, поэтому областью решения неравенства будут точки, лежащие ниже прямой x1+3x2=21 . Область решения обозначим штриховкой.
Границей неравенства 2x1+3x2≤24 является прямая 2x1+3x2=24, построим ее по двум точкам:
х1
12 0
х2
0 8
Произвольная точка (0; 0) удовлетворяет неравенству2x1+3x2≤24, поэтому область решения неравенства будут точки, лежащие ниже прямой 2x1+3x2=24. Объединим полученную полуплоскость с раннее найденными ограничениями. Область решения обозначим штриховкой.
Границей неравенства 2x1+x2≤20 является прямая 2x1+x2=20, построим ее по двум точкам:
х1
10 0
х2
0 20
Произвольная точка (0; 0) удовлетворяет неравенству2x1+x2≤20, поэтому область решения неравенства будут точки, лежащие ниже прямой 2x1+x2=20. Объединим полученную полуплоскость с раннее найденными ограничениями. Область решения обозначим штриховкой.
Общая часть всех полуплоскостей область АВСDE является областью решений системы линейных неравенств.
Строим вектор-градиент целевой функции FX=4x1+3x2:∇F=4;3.
(координаты вектора-градиента – частные производные функции ).
Проводим линию линейной функции перпендикулярно вектору-градиенту.
Для отыскания точки, соответствующей максимальному значению функции, сдвигаем линию уровня параллельно самой себе в направлении, указанном вектором ∇F.
Максимального значения функция достигает в точке: F(D), где D(9,2).
Fmax=FD=4∙9+2*3=42.
Построим для заданной модели двойственную и решим ее с помощью теорем двойственности:
y1≥0y2≥0y1+2y2+2y3≥43y1+3y2+y3≥3qy=21y1+24y2+20y3→min
Нам известно, что исходная задача имеет оптимальное решение:
Fmax=F9,2=42.
Воспользуемся первой теоремой двойственности. Двойственная модель тоже имеет оптимальное решение, причем оптимальное значение целевой функции q(Y)тоже равно 42, т. е. q(Y)=42.
Далее, будем использовать четвертую теорему двойственности. Начнем с первой части:
9+6≤21, y1=0
18+6=24, y2≥0
18+2=20, y3≥0
Получим систему уравнений для определения оптимального решения двойственной модели
y1+2y2+2y3=43y1+3y2+y3=3y1=0↔2y2+2y3=43y2+y3=3y1=0↔y2+y3=23y2+y3=3y1=0↔2y2=13y2+y3=3y1=0
y1=0,y2=12,y3=32
Ymin(0,1/2,3/2)
Проверим q(Ymin)=0+12+30=42
Решить задачу симплекс-методом.
Запишем каноническую модель:
x1+3x2+х3=21,2x1+3x2+х4=24,2x1+x2+х5=20,0≤x1,x2≥0,
fx1,x2=-4x1-3x2→min,
Формируем начальную симплекс-таблицу
Базис В Х1
х2
х3 х4
х5
Х3 21 1 3 1 0 0
Х4
24 2 3 0 1 0
Х5 20 2 1 0 0 1
F1 0 4 3 0 0 0
Так как max(4,3)=4, то столбец коэффициентов с1 будет ключевым. Все элементы ключевого столбца положительны. Найдем разрешающую строку: min(21,12,10)=10. Третья строка будет разрешающей.
Базис В Х1
х2
х3 х4
х5
Х3 11 0 5/2 1 0 -1/2
Х4
4 0 2 0 1 -1
Х1
10 1 1/2 0 0 1/2
F1 -40 0 1 0 0 -2
Так как max(1,-2)=1, то столбец коэффициентов с2 будет ключевым. Все элементы ключевого столбца положительны. Найдем разрешающую строку: min(22/5,2,20)=2. Вторая строка будет разрешающей.
Базис В Х1
х2
х3 х4
х5
Х3 6 0 0 1 -5/4 3/4
Х2
2 0 1 0 1/2 -1/2
Х1
9 1 0 0 -1/4 3/4
F1 -42 0 0 0 -1/2 -3/2
Впоследнейстрокетабл.нетположительныхчисел,решение оптимально Fmin(9,2,6,0,0)=-42, тогда решение исходной задачи Fmax(9,2,6,0,0)=42
Теперь обратимся к симплекс-таблицам и запишем опорные решения, которые там получились:
X1=(0,0,21,24,20), X2(10,0,11,4,0), X3=(9,2,6,0,0)=max
Вывод: переход от одной симплекс-таблицы к другой геометрически соответствует переходу от одной вершины многоугольника к другой.
Решение:
Значит необходимо выпускать 9 ед изделий вида А1, 2 ед изделий вида А2, чтобы получить максимальную прибыль в размере 72 ден еПосмотреть предложения по расчету стоимости
Заказчик
заплатил
заплатил
20 ₽
Заказчик не использовал рассрочку
Гарантия сервиса
Автор24
Автор24
20 дней
Заказчик принял работу без использования гарантии
2 декабря 2018
Заказ завершен, заказчик получил финальный файл с работой
5
Предприятие выпускает два вида продукции А1 и А2 используя при этом три вида сырья В1.jpg
2019-01-16 10:40
Последний отзыв студента о бирже Автор24
Общая оценка
5
Положительно
Очень пунктуальный и ответственный автор. Подошла к онлайн помощи на экзамене со всей серьёзностью
Хочешь такую же работу?
300 ₽
