выполнено на сервисе Автор24

Студенческая работа на тему:

По результатам наблюдений над случайной величиной Х и У требуется для каждой величины

Решение задач Теория вероятностей

Создан заказ №4051608

24 мая 2019

По результатам наблюдений над случайной величиной Х и У требуется для каждой величины

Как заказчик описал требования к работе:

Сделать исключительно Первую часть, Десятый вариант.

Фрагмент выполненной работы:

По результатам наблюдений над случайной величиной Х и У требуется для каждой величины: 1) Построить интервальный и дискретный вариационный ряд, полигон или гистограмму в зависимости от того, дискретна или непрерывна изучаемая случайная величина. Найти эмпирическую функцию распределения и построить ее график. 2) Найти точечные оценки параметров закона распределения случайной величины. 3) С помощью выборочных коэффициентов асимметрии и эксцесса определить, имеется ли основание для выдвижения гипотезы о нормальности распределения. (работа была выполнена специалистами Автор 24) Выбрать гипотетический закон распределения. Используя точечные оценки параметров, записать плотность и функцию распределения. 4) В случае нормальности распределения построить доверительные интервалы с надежностью γ. 4.1 для математического ожидания считая, что σ=; 4.2 для математического ожидания, считая дисперсию неизвестной; 4.3 для среднего квадратического отклонения. 5) Проверить с помощью критерия согласия χ2 гипотезу о виде закона распределения при уровне значимости β. 6) Построить график функции плотности и сравнить его с гистограммой, в случае дискретной случайной величины сравнить многоугольник распределения с полигоном. Х Y X Y X Y X Y 17 97 15 80 16 77 16 92 16 94 18 104 16 84 17 94 17 97 16 86 16 94 16 91 16 90 18 94 17 91 18 103 15 75 18 91 18 103 15 76 17 99 15 70 16 94 16 89 17 88 18 99 17 97 17 100 16 82 17 85 14 79 19 107 17 83 18 101 17 90 15 80 16 81 15 85 15 76 16 77 16 85 17 100 18 94 15 79 18 95 17 84 17 84 18 98 15 73 16 80 16 77 15 85 16 82 18 105 18 94 16 93 16 93 16 88 15 76 15 73 17 89 18 100 Решение: Выполним расчеты для величины Х Данная величина принимает ограниченное небольшое число значений, она является дискретной. 1) Построим дискретный вариационный ряд. Объем выборки n=62 Таблица 1 – Дискретный ряд хi 14 15 16 17 18 19 ni 1 12 20 15 13 1 ni/n 0,016 0,194 0,323 0,242 0,210 0,016 ni/n 0,016 0,210 0,532 0,774 0,984 1,000 Построим полигон: Рисунок 1 – Полигон относительных частот По данным последней строки таблицы 1 запишем эмпирическую функцию распределения: Рис.2 Эмпирическая функция распределения 2) Найдем точечные оценки параметров закона распределения случайной величины. Таблица 2 – Расчет точечных оценок № п/п xi ni xini (xi-)2ni (xi-)3ni (xi-)4ni 1 14 1 14 6,170 -15,325 38,064 2 15 12 180 26,422 -39,208 58,179 3 16 20 320 4,683 -2,266 1,096 4 17 15 255 3,996 2,062 1,064 5 18 13 234 29,882 45,306 68,689 6 19 1 19 6,331 15,929 40,080 62 1022 77,484 6,499 207,173 Выборочная средняя: = 16,454 Выборочная дисперсия: = 1,250 Выборочное среднее квадратическое отклонение: =1,118 Асимметрия: =0,075 Эксцесс: =-0,861 3) Так как асимметрия очень мала, а эксцесс умеренный, то можно предположить нормальный закон распределения. Для нормального закона распределения асимметрия и эксцесс равны 0. Соответственно близость к нулю А* и Е* говорит о том, что распределение Х близко к нормальному. Найдем ошибки: Для асимметрии =0,897 |А*|<0.897 Для эксцесса: =1,71 |Е*|<1.71 Принимаем закон нормальный распределения Найдем плотность распределения Функция распределения: F(x)= 4) Построим доверительные интервалы с надежностью γ. 4.1 для математического ожидания считая, что σ==1,118 Из таблицы значения функции Лапласа найдем t, такое, что Ф(t)=0,95/2= 0,475 t=1,96 16,454-0,278<М(х)<16,454+0,278 16,176<М(х)< 16,732 4.2 Найдем доверительный интервал для математического ожидания, считая дисперсию неизвестной Из таблицы Стьюдента найдем t(0,05;62-1)=2 16,454-0,286<М(х)<16,454+0,286 16,168<М(х)< 16,74 4.3 Построим доверительный интервал для среднего квадратического отклонения: По доверительной вероятности =0,95 и числу степенной свободы n-1=61 из таблицы распределений находим: 0.957<<1.295 5) Проверим с помощью критерия согласия χ2 гипотезу о виде закона распределения при уровне значимости β=0,05 Таблица 3 – Проверка гипотезы о законе распределения № п/п xi ni f(xi) ni* (ni- ni*)2/ ni* 1 14 1 0,0320 2 0,500 2 15 12 0,1564 10 0,400 3 16 20 0,3436 21 0,048 4 17 15 0,3392 21 1,714 5 18 13 0,1504 9 1,778 6 19 1 0,0300 2 0,500 62 65 4,940 В данном случае , ni*= Число оцениваемых параметров в нормальном распределении равно 2, поэтому число степеней свободы асимптотического закона хи-квадрат равно r=k-2-1= 6-2-1=3. По таблице квантилей распределения 2 находим квантиль 20.95(3)=7.81. Теперь сравниваем выборочное (наблюдаемое) значение статистики с теоретическим 2набл=4,94<7,81. Статистический вывод в данном случае: с вероятностью 0,95 гипотеза о нормальном распределении согласуется с данными измерений. 6) Построим многоугольник распределения с полигоном. Рис. 3 Нормальное распределение Выполним расчеты для величины Y Данная величина принимает большое число значений, она является непрерывной. Ширина интервала: h==5.326 1) Построим интервальный вариационный ряд. Таблица 4 – Интервальный ряд Интервал 68- 74 74-80 80-86 86-92 92-98 98-104 104-110 Середина интервала уi 71 77 83 89 95 101 107 ni 3 12 12 10 14 9 2 ni/n 0,048 0,194 0,194 0,161 0,226 0,145 0,032 ni/n 0,048 0,242 0,435 0,597 0,823 0,968 1,000 ni/n/h 0,008 0,032 0,032 0,027 0,038 0,024 0,005 Построим гистограмму- это ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основание которых – интервалы длины h, а площадь ступеньки – относительная частота попадания Х в данный интервал. Соответственно, высоты определяют как Рис 4 – Гистограмма относительных частот Запишем эмпирическую функцию распределения: Рис.5 Эмпирическая функция распределения 2) Найдем точечные оценки параметров закона распределения случайной величины...Посмотреть предложения по расчету стоимости