Создан заказ №3492996
4 января 2019
Показать что функционал Pcosλxx действующий на основные функции φ∈D(R1) по формуле Pcosλxx
Как заказчик описал требования к работе:
Решить любые два задания
-
сделать выкладки максимально подробными и, если можно, добавить комментарии
Фрагмент выполненной работы:
Показать, что функционал Pcosλxx, действующий на основные функции φ∈D(R1) по формуле
Pcosλxx,φ=v.p.-∞+∞cosλxxφxdx,
(1)
есть сингулярная обобщенная функция. Найти предел Pcosλxx при λ→∞ в D'R1.
Решение:
1) Покажем, что функционал (1) линейный.
Пусть φx,ψ(x)∈D(R1), тогда
Pcosλxx,αφ(x)+βψ(x)=v.p.-∞+∞cosλxxαφ(x)+βψ(x)dx=
=limε→+0-∞-ε++ε+∞ cosλxxαφx+βψxdx=
в силу свойства линейности интеграла и операции предельного перехода
=αlimε→+0-∞-ε++ε+∞ cosλxxφxdx+βlimε→+0-∞-ε++ε+∞ cosλxxψxdx=
=αPcosλxx,φ+βPcosλxx,ψ
Следовательно, функционал (1) линейный.
2) Покажем, что функционал (1) непрерывный.
Пусть φkx∈D(R1), φk→φ, при k→∞ в D(R1), тогда φkx=0, x>R, ∀k∈N при некотором R>0.
Pcosλxx,φk(x)=v.p.-∞+∞cosλxxφk(x)dx=v.p.-R+Rcosλxxφk(x)dx(=)
используя теорему о среднем, имеем φkx=φk0+φk'x*x, где x*∈-R;R, тогда
=v.p.-R+Rcosλxxφk0+φk'x*xdx=v.p.-R+Rφk0cosλxxdxI1+-R+Rcosλxφk'x*dxI2
Первый интеграл I1=0, т.к. (работа была выполнена специалистами Автор 24) нечетная функция интегрируется в симметричных пределах.
Оценим второй интеграл
I2=-R+Rcosλxφk'x*dx<maxx∈-R,Rφk'x∙-R+Rcosλxdx→0, при k→∞.
т.к. maxx∈-R,Rφk'x→0 при k→∞, а интеграл -R+Rcosλxdx ограничен.
Таким образом получили, что
Pcosλxx,φk→0, при k→∞
Следовательно, функционал (1) непрерывный.
Итак функционал, Pcosλxx, заданный на пространстве основных функций D(R1) по правилу (1), является линейным и непрерывным, следовательно он определяет обобщенную функцию класса D'.
3) Покажем, что обобщенная функция (1) сингулярная.
Используем метод от противного. Предположим обратное, что Pcosλxx регулярная обобщенная функция, т.е. пусть существует локально интегрируемая в R1 функция f(x), такая, что
Pcosλxx,φ=-∞+∞f(x)φxdx.
Возьмем в этой формуле в качестве основной функции φx=xωε(x), где функция шапочка ωεx∈D(R1),
ωεx=Cεe-ε2ε2-x2, при x≤ε0, при x>ε
постоянная Cε такая, что ωεx удовлетворяет условию нормировки
-∞+∞ωεxdx=-ε+εωεxdx=1.
1=-ε+εωεxdx=Cε-ε+εe-ε2ε2-x2dx=Cεε-ε+εe-11-xε2dxε=Cεε-11e-11-t2dt=C1=CεεC1.
Т.е. Cε=1εC1.
Тогда
Pcosλxx,xωεx=-ε+εcosλxωεxdx=-ε+εcosλx-1ωεxdx+-ε+εωεxdx=
=-ε+εcosλx-1ωε(x)dx+1.
Функция cosλx непрерывна в нуле, т.е. для ∀Δ>0, ∃ε1>0, что для ∀x<ε1(Δ) выполняется cosλx-1<Δ. Тогда при 0<ε<ε1(Δ)
-ε+εcosλx-1ωεxdx≤-ε+εcosλx-1ωεxdx<Δ-ε+εωεxdx=Δ.
Следовательно,
limε→0-ε+εcosλx-1ωε(x)dx=0
А значение функционала Pcosλxx на функц..Посмотреть предложения по расчету стоимости
Заказчик
заплатил
заплатил
200 ₽
Заказчик не использовал рассрочку
Гарантия сервиса
Автор24
Автор24
20 дней
Заказчик принял работу без использования гарантии
5 января 2019
Заказ завершен, заказчик получил финальный файл с работой
5
Показать что функционал Pcosλxx действующий на основные функции φ∈D(R1) по формуле
Pcosλxx.docx
2019-01-08 10:55
Последний отзыв студента о бирже Автор24
Общая оценка
5
Положительно
Автор -профессионал! Выполнил работу раньше срока, качественно, с рисунками! Рекомендую!
Хочешь такую же работу?
300 ₽
