Создан заказ №2200471
21 июня 2017
-228606858000 9x+4y2+3y-1=0 x2+6x+3y+3=0 0 01 Ход решения В основе метода Ньютона для системы уравнений F1x1
Как заказчик описал требования к работе:
Срочно решить контрольную работу по программированию из 6 задач в двух вариантах. Все решения нужно подробно расписать.
Фрагмент выполненной работы:
-228606858000 9x+4y2+3y-1=0
x2+6x+3y+3=0 0.01
Ход решения.
В основе метода Ньютона для системы уравнений
F1x1, x2,…, xn=0,F2x1, x2,…, xn=0,…………………………Fnx1, x2,…, xn=0.
(3)
лежит использование разложения функций в ряд Тейлора, причем члены, содержащие вторые производные (и производные более высоких порядков), отбрасываются [1]. Пусть приближенные значения неизвестных системы (например, полученные на предыдущей итерации) равны соответственно . (работа была выполнена специалистами Автор 24) Задача состоит в нахождении приращений (поправок) к этим значениям , благодаря которым решение исходной системы запишется в виде:
x1=a1+∆x1, x2=a2+∆x2, …, xn=an+∆xn.
(1)
F1x1, x2, …, xn=F1a1+∆x1, a2+∆x2,…, an+∆xn=0,F2x1, x2, …, xn=F2a1+∆x1, a2+∆x2,…, an+∆xn=0,………………………………………………………………………Fnx1, x2, …, xn=Fna1+∆x1, a2+∆x2,…, an+∆xn=0.
(2)
Поскольку левые части этих выражений должны обращаться в нуль, то можно приравнять к нулю и правые части.
Проведем разложение правых частей уравнений исходной системы в ряд Тейлора, ограничиваясь лишь линейными членами относительно приращений:
F1a1, a2,…, an+∂F1∂x1∆x1+∂F1∂x2∆x2+…+∂F1∂xn∆xn=0,F2a1, a2,…, an+∂F2∂x1∆x1+∂F2∂x2∆x2+…+∂F2∂xn∆xn=0,………………………………………………………………Fna1, a2,…, an+∂Fn∂x1∆x1+∂Fn∂x2∆x2+…+∂Fn∂xn∆xn=0.
(3)
в матричном виде:
Fa+∂F∂xa∆x=0; ∆x=-∂F∂x(a)-1F(a).
(4)
Значения и их производные вычисляются при .
Определителем последней системы является якобиан:
. (5)
Одно из условий для существования единственного решения системы якобиан должен быть отличным от нуля на каждой итерации [1].
Таким образом, итерационный процесс решения системы нелинейных уравнений методом Ньютона состоит в определении приращений к значениям неизвестных на каждой итерации. Счет прекращается, если все приращения становятся малыми по абсолютной величине:
maxi∆xi<ε.
(6)
В методе Ньютона также важен удачный выбор начального приближения для обеспечения хорошей сходимости. Формула метода Ньютона в матричном виде имеет вид
(7)
В модифицированном случае справедлива формула:
(8)
Теорема (cходимость метода): Пусть в некоторой окрестности решения системы нелинейных уравнений функции дважды непрерывно дифференцируемы и определитель матрицы Якоби J не равен нулю. Тогда найдется такая малая – окрестность решения , что при произвольном выборе начального приближения из этой окрестности, итерационная последовательность метода Ньютона не выходит за пределы окрестности и справедлива оценка:
, для некоторого (см. ,напр., [1]).
В качестве примера можно рассмотреть использование метода Ньютона для решения системы двух уравнений: , где и – непрерывно дифференцируемые функции. Пусть начальные значения неизвестных равны a1, a2. После разложения исходной системы в ряд Тэйлора можно получить:
F1+∂F1(a1, a2)∂x∆x+∂F1(a1, a2)∂y∆y=0,F2+∂F2(a1, a2)∂x∆x+∂F2(a1, a2)∂y∆y=0.
Предположим, что якобиан системы при x= a1 и y= a2 отличен от нуля:
J=∂F1∂x ∂F1∂y∂F2∂x ∂F2∂y≠0
Чтобы легче было вычислять, воспользуемся методом Крамера [5]:
ш
xi=∆i∆ , где ∆i – определитель матрицы составленный из матрицы А путем замены i-го столбца столбцами свободных членов. Тогда метод Ньютона для компонент решения имеет вид
, .
В модифицированном случае справедлива формула:
.
Или в другой форме можно писать (в этом примере нижние индексы означают порядок итерации):
∂F1∂x ∂F1∂y∂F2∂x ∂F2∂yxn+1-xnyn+1-yn=-F1(xn,yn)F2(xn,yn)
(9)
Для вычисления последовательных приближений применяют формулы:
30035511747500xn+1=xn-1J(xn,yn)F1xn,yn F1y'xn,ynF2xn,yn F2y'(xn,yn)=xn-∆x(n)J(xn,yn),
yn+1=yn-1J(xn,yn)F1x'xn,yn F1xn,ynF2x'xn,yn F2(xn,yn)=yn-∆y(n)J(xn,yn),
(10)
где
∆x(n)= F1xn,yn F1y'xn,ynF2xn,yn F2y'(xn,yn)
∆y(n)=F1x'xn,yn F1xn,ynF2x'xn,yn F2(xn,yn)
а якобиан
J(xn, yn)= F1x'xn,yn F1y'xn,ynF2x'xn,yn F2y'(xn,yn)≠0
Начальные значения x0,y0 определяются приближенно (графически, прикидкой и т.д.).
Критерий окончания. Будем считать, что заданная точность достигнута, если или .
Метод эффективен только при достаточной близости начального приближения к решению системы [1].
Решение:
Начальные приближения можно определить графическим способом...Посмотреть предложения по расчету стоимости
Заказчик
заплатил
заплатил
200 ₽
Заказчик не использовал рассрочку
Гарантия сервиса
Автор24
Автор24
20 дней
Заказчик принял работу без использования гарантии
22 июня 2017
Заказ завершен, заказчик получил финальный файл с работой
5
-228606858000 9x+4y2+3y-1=0
x2+6x+3y+3=0 0 01
Ход решения
В основе метода Ньютона для системы уравнений
F1x1.docx
2020-10-27 23:57
Последний отзыв студента о бирже Автор24
Общая оценка
4.9
Положительно
Уже делаю не первый заказ у автора, Качество как всегда на высоте, и работа выполнена раньше срока.
Спасибо большое Дмитрий!
Хочешь такую же работу?
300 ₽
