Основные понятия
При вычислении вероятностей случайных событий, часто возникают ситуации, когда вся информация о случайном событии A содержится в некотором подмножестве пространства $\Omega$, не совпадающего с ним. В этом случае, считая это подмножество за новое пространство элементарных событий, можно более эффективно вычислить вероятность реализации события A в пространстве $\Omega$.
Пусть дано вероятностное пространство $\{ \Omega ,{\rm A},P\} $ и $A,B\subset \Omega $. Если $P(B)>0$, то условной вероятностью$P(A/B)$ появления события A, при условии, что событие B произошло, называется число, определяемое формулой
\[P(A/B)=\frac{P(A\bigcap B)}{P(B)} .\]С формулой условной вероятности связана формула полной вероятности, основанная на разбиении события A на непересекающиеся части: $A=\bigcup \limits _{i=1}^{n}H_{i} $. Если событие A состоит из бесконечного числа элементарных событий, то допустимо разбиение $A=\bigcup \limits _{i=1}^{\infty }H_{i} $. Если событие $A=\Omega $, то
\[P\left(\bigcup \limits _{i=1}^{n}H_{i} \right)=\sum \limits _{i=1}^{n}P(H_{i} ) =1.\]Если рассмотреть два события A и Н. При любых обстоятельствах между событиями A и Н, всегда можно сказать, что вероятность события A равна сумме вероятности пересечения событий A и Н и вероятности пересечения A и дополнения к Н (событие $\overline{Н})$ это видно с рисунка 1.
Рисунок 1. Диаграмма Вена
Разложение А на части зависит от $H$ и $\bar{H}$.
Р(А) = Р(А$\bigcap $Н) + $Р(А\bigcap$ $\overline{H}$).
Аналогично можно рассмотреть и для большего количества событий связанных с А.
Вероятность события A, которое может наступить только в результате появления одного из несовместных событий $H_{i} $, $\bigcup \limits _{i=1}^{n}H_{i} \subseteq \Omega $, равна сумме произведений вероятностей этих событий на соответствующую условную вероятность события A, то есть,
если для $A,H_{1} ,H_{2} ,...,H_{n} \subset \Omega $ выполняются условия
- $H_{i} \bigcap H_{j} =\emptyset $, $i\ne j$, $i,j=1,2,...,n$;
- $A=\bigcup \limits _{i=1}^{n}(A\bigcap H_{i} ) $; то \[P(A)=P(H_{1} )P(A/H_{1} )+P(H_{2} )P(A/H_{2} )+...+P(H_{n} )P(A/H_{n} ).\]
Пусть для $A,H_{1`} ,H_{2} ,...,H_{n} \subset \Omega $ выполняются условия $H_{i} \bigcap H_{j} =\emptyset $, тогда
\[A=\bigcup \limits _{i=1}^{n}(A\bigcap H_{i} ) =(A\bigcap H_{1} )\bigcup (A\bigcap H_{2} )\bigcup ...\bigcup (A\bigcap H_{n} ).\]Переходя к вероятностям в последнем равенстве, имеем
\[P(A)=P\left(\bigcup \limits _{i=1}^{n}(A\bigcap H_{i} ) \right)=P\left((A\bigcap H_{1} )\bigcup (A\bigcap H_{2} )\bigcup ...\bigcup (A\bigcap H_{n} )\right).\]Так как $H_{1} ,H_{2} ,...,H_{n} $ попарно несовместные события, то события $A\bigcap H_{1} $, $A\bigcap H_{2} $, \dots , $A\bigcap H_{n} $ также несовместные. По аксиоме 3 определения вероятности события и теореме умножения вероятностей получаем
\[P(A)=P(A\bigcap H_{1} )+P(A\bigcap H_{2} )+...+P(A\bigcap H_{n} )=\] \[=P(H_{1} )\cdot P(A/H_{1} )+P(H_{2} )\cdot P(A/H_{2} )+...+P(H_{n} )\cdot P(A/H_{n} ).\]Несовместные события $H_{1} ,H_{2} ,...,H_{n} $ называются априорными гипотезами, поскольку их вероятности задаются до проведения эксперимента, а, так как $\bigcup \limits _{i=1}^{n}H_{i} \subseteq \Omega $, то сумма вероятностей гипотез не превосходит единицы, то есть, $\sum \limits _{i=1}^{n}P(H_{i} ) \le 1$. В общем случае имеет место
\[P(A)\le \sum \limits _{i=1}^{n}P(H_{i} ) \le 1.\]Поломка прибора может быть вызвана одной из трех причин, вероятности наступления которых, соответственно, равны 0,7; 0,2; 0,1. При наличии этих причин поломка прибора происходит с вероятностью 0,1; 0,2; 0,99. Найти вероятность того, что прибор вышел из строя.
Решение.
Пусть A -- прибор вышел из строя,
$H_1$ -- имеет место 1-ая причина поломки,
$H_2$ -- имеет место 2-ая причина поломки,
$H_3$ -- имеет место 3-ая причина поломки,
тогда по формуле полной вероятности имеем
\[P(A)=P(H_{1} )\cdot P(A/H_{1} )+P(H_{2} )\cdot P(A/H_{2} )+P(H_{3} )\cdot P(A/H_{3} )=\] \[=0,7\cdot 0,1+0,2\cdot 0,2+0,1\cdot 0,99=0,209,\]На двух станках-автоматах изготавливают одинаковые детали, которые поступают на транспортер. Продуктивность первого станка в три раза больше, чем второго, причем первый станок изготавливает нестандартную деталь с вероятностью 0,15, а второй --- с вероятностью 0,2. Найти вероятность того, что наудачу взятая с транспортера деталь будет стандартной.
Решение.
Рассмотрим события: $B_{1} $ --- «деталь изготовлена на первом станке»; $B_{2} $ --- «деталь изготовлена на втором станке»; А --- «выбранная деталь стандартная». События $B_{1}$ и $B_{2} $ несовместны, а также эти два события образуют полную группу вероятностей, событие А может происходить одновременно с каждым из этих событий. Условные вероятности наступления события А известны. Исходя из условия, что продуктивность первого станка в три раза больше, чем второго, находим $P\left(B_{1} \right)=0,75$, $P\left(B_{2} \right)={\rm 0,25}$. По формуле полной вероятности имеем: $P\left(A\right)=0,75\cdot 0,85+0,25\cdot 0,8=0,8375$.
Первый станок производит 25%, второй -- 35%, третий -- 40% всех изделий. Брак в их продукции составляет соответственно 5%, 4% и 2%. Найти вероятность того, что взятое наугад изделие окажется бракованным.
Решение.
Обозначим возможные гипотезы:
$Н_1$={выбор изделия с первого станка},
$Н_2$={ выбор изделия со второго станка},
$Н_3$={ выбор изделия с третьего станка}.
Эти события $Н_1$, $Н_2$ и $Н_3$ несовместные, а также эти три события образуют полную группу вероятностей, и событие А происходит вместе с одним из них, следовательно этому, они действительно могут быть взяты в качестве гипотез для события А. За формулой полной вероятности
\[P\left(A\right)=P\left(H_{1} \right)P\left({A\mathord{\left/ {\vphantom {A H_{1} }} \right.} H_{1} } \right)+P\left(H_{2} \right)P\left({A\mathord{\left/ {\vphantom {A H_{2} }} \right. } H_{2} } \right)+P\left(H_{3} \right)P\left({A\mathord{\left/ {\vphantom {A H_{3} }} \right. } H_{3} } \right).\]Подставив условия задачи в формулу и получим:
$Р(Н_1)= 0.25, Р(Н_2)=0.35, Р(Н_3)=0.40$, $P\left({A\mathord{\left/ {\vphantom {A H_{1} }} \right.} H_{1} } \right)$=0.05,
$P\left({A\mathord{\left/ {\vphantom {A H_{2} }} \right. } H_{2} } \right)$=0.04, $P\left({A\mathord{\left/ {\vphantom {A H_{3} }} \right.} H_{3} } \right)$=0.02,
Из этого видно, что:
$Р(А) = 0.25 \cdot 0.05 + 0.35 \cdot 0.04 + 0.40 \cdot 0.02 = 0.0345$.
