Таблица производных высших порядков
Вычислить производную четвертой степени функции
\[x^{8} \]Решение.
Вычисления производим по формуле нахождения производной высшего порядка
\[\left(x^{p} \right)^{(n)} =p(p-1)(p-2)...(p-n+1)x^{p-n} \]где $p$ = 8, $n$ = 4
\[\left(x^{8} \right)^{(4)} =8(8-1)(8-2)(8-4+1)x^{8-4} =8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot x^{4} =1680x^{4} \] \[\left(x^{8} \right)^{(4)} =1680x^{4} \]Вычислить производную третей степени функции
\[y=5^{2x-5} \]Решение.
Вычисления производим по формуле нахождения производной высшего порядка
\[\left(a^{kx+b} \right)^{(n)} =k^{n} a^{kx+b} \ln ^{n} a\]Где $k$ = 2, $b$ = -5, $a$ = 5, $n$ = 3
\[y^{(3)} =\left(5^{2x-5} \right)^{(3)} =2^{3} \cdot 5^{2x-5} \cdot \ln ^{3} 5\] \[y^{(3)} =2^{3} \cdot 5^{2x-5} \cdot \ln ^{3} 5=\frac{8\cdot 25^{x} }{3125} \ln ^{3} 5\]Вычислить производную пятой степени функции
\[y=e^{2x} \]Решение.
Вычисления производим по формуле нахождения производной высшего порядка
\[\left(e^{kx+b} \right)^{(n)} =k^{n} e^{kx+b} \]Где $k$ = 2, $b$ = 0, $n$ = 5
\[e^{2x(5)} =2^5 e^{2x} =32e^{2x} \]Вычислить четвертую производную функции
\[y=\sin 3x\]Решение.
Вычисления производим по формуле нахождения производной высшего порядка
\[\left(\sin ax\right)^{(n)} =a^{n} \sin \left(ax+\frac{\pi n}{2} \right)\]Где $а$ = 3, $n$ = 4
\[\left(\sin 3x\right)^{(4)} =3^{4} \sin \left(3x+\frac{4\pi }{2} \right)\] \[\left(\sin 3x\right)^{(4)} =3^{4} \sin \left(3x+2\pi \right)=3^{4} \sin 3x=81\sin 3x\]Вычислить восьмую производную функции
\[y=\cos 4x\]Решение.
Вычисления производим по формуле нахождения производной высшего порядка
\[\left(\cos ax\right)^{(n)} =a^{n} \cos \left(ax+\frac{\pi n}{2} \right)\]Где $а$ = 4, $n$ = 8
\[\left(\cos 4x\right)^{(8)} =4^{8} \cos \left(4x+\frac{8\pi }{2} \right)=4^{8} \cos 4x\]Вычислить производную третей степени функции
\[y=(6x-10)^{3} \]Решение.
Вычисления производим по формуле нахождения производной высшего порядка
\[((ax+b)^{p} )^{(n)} =a^{n} p(p-1)(p-2)...(p-n+1)(ax+b)^{p-n} \]Где $а$ = 6, $b$ = -10, $p$ = 3, $n$ = 3
\[((6x-10)^{3} )^{(3)} =6^{3} 3(3-1)(3-3+1)(6x-10)^{3-3} \] \[((6x-10)^{3} )^{(3)} =6^{3} \cdot 3\cdot 2\cdot 1\cdot 1=1296\]Вычислить производную седьмой степени функции
\[y=\log {}_{6} x\]Решение.
Вычисления производим по формуле нахождения производной высшего порядка
\[\left(\log _{a} \left|x\right|\right)^{(n)} =\frac{(-1)^{n-1} (n-1)!}{x^{n} \ln a} \]Где $а$ = 6, $n$ = 7
\[\left(\log _{6} \left|x\right|\right)^{(7)} =\frac{(-1)^{7-1} (7-1)!}{x^{7} \ln 6} \] \[\left(\log _{6} \left|x\right|\right)^{(7)} =\frac{(-1)^{7-1} (7-1)!}{x^{7} \ln 6} =\frac{(-1)^{6} 6!}{x^{7} \ln 6} =\frac{6!}{x^{7} \ln 6} \]
