Правила вычисления производных

Вычислить по правилу разности производную

Решение.

1. По правилу разности: производная разности функций есть разность их производных.
\[y'=\left(x^{3} -2\sqrt[{3}]{x} -4e^{x} -\ln x\right)^{{'} } =\left(x^{3} \right)^{{'} } -\left(2\sqrt[{3}]{x} \right)^{{'} } -\left(4e^{x} \right)^{{'} } -\left(\ln x\right)^{{'} } \]
2. Разберем нахождение производной каждого слагаемого.
1. Производная степени находится по формуле:
\[a^{n} =n\cdot a^{n-1} \] \[\left(x^{3} \right)^{{'} } =3x^{2} \]
2. Производную корня можно найти через производную степени по выше указанной формуле, вынося числовой множитель за знак производной.
\[\left(2\sqrt[{3}]{x} \right)^{{'} } =2\left(\sqrt[{3}]{x} \right)^{{'} } =2\left(x^{\frac{1}{3} } \right)^{{'} } =2\cdot \frac{1}{3} x^{-\frac{2}{3} } =\frac{2}{3\sqrt[{3}]{x^{2} } } \]
3. Производная постоянной е неизменна:
\[e^{x'} =e^x \] \[\left(4e^{x} \right)^{{'} } =4\left(e^{x} \right)^{{'} } =4e^{x} \]
4. Производная натурального логарифма:
\[\left(\ln x\right)^{{'} } =\frac{1}{x} \]
3. Запишем результат нахождения производной функций
\[y'=\left(x^{3} \right)^{{'} } -\left(2\sqrt[{3}]{x} \right)^{{'} } -\left(4e^{x} \right)^{{'} } -\left(\ln x\right)^{{'} } =3x^{2} -\frac{2}{3\sqrt[{3}]{x^{2} } } -4e^{x} -\frac{1}{x} \]

Вычислить по правилу суммы производную

Решение.

1. По правилу суммы: производная суммы функций есть сумма их производных.
\[y'=\left(\arcsin x+\arccos x+arctgx\right)^{{'} } =\arcsin x'+\arccos x'+arctgx'\]
2. Разберем нахождение производной каждого слагаемого.
1. Производная арксинуса:
\[\arcsin x'=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2} } } \]
2. Производная арккосинуса:
\[\arccos x'=-\frac{1}{1-x^{2} } \]
3. Производная арктангенса:
\[arctgx'=\frac{1}{1+x^{2} } \]
3. Запишем результат нахождения производной функций
\[y'=\arcsin x'+\arccos x'+arctgx'=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2} } } -\frac{1}{1-x^{2} } +\frac{1}{1+x^{2} } \]

Найти производную

Решение:

1. По правилу производной произведения:
$$y' = (fx_1 \cdot fx_2 \cdot \dots \cdot fx_n) = fx'_1 fx_2 fx_3 \dots fx_n + fx_1 fx'_2 fx_3 \dots fx_n + \dots + fx_1 fx_2 fx_3 \dots fx'_n$$ \[y'=\left(\sin x\cdot \cos x\cdot tgx\right)^{{'} } =\sin x'\cdot \cos x\cdot tgx+\sin x\cdot \cos x'\cdot tgx+\sin x\cdot \cos x\cdot tgx'=\]
2. Найдем производные множителей
\[y'=\cos x\cdot \cos x\cdot tgx-\sin x\cdot \sin x\cdot tgx+\sin x\cdot \frac{\cos x}{\cos ^{2} x} =\cos ^{2} x\cdot tgx-\sin x^{2} \cdot tgx+\frac{\sin x}{\cos x} =\]
3. Упростим выражение
\[y'=tgx\left(\cos ^{2} x-\sin x^{2} \right)+tgx=tgx+tgx=2tgx\]

Найти производную

Решение:

1. По правилу производной частного
\[y'=\left(\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)} \right)^{{'} } =\frac{f\left(x\right)^{{'} } g\left(x\right)-g\left(x\right)^{{'} } f\left(x\right)}{g^{2} \left(x\right)} \] \[y'=\left(\frac{2x^{2} -3}{x^{3} } \right)^{{'} } =\frac{x^{3} \cdot \left(2x^{2} -3\right)^{{'} } -\left(x^{3} \right)^{{'} } \cdot \left(2x^{2} -3\right)}{\left(x^{3} \right)^{2} } \]
2. Вычислим производные простых множителей
\[y'=\left(\frac{2x^{2} -3}{x^{3} } \right)^{{'} } =\frac{x^{3} \cdot 4x-3x^{2} \cdot \left(2x^{2} -3\right)}{\left(x^{3*2} \right)^{} } =\frac{4x^{4} -6x^{4} -9x^{2} }{x^{3*2} } =\]
3. Упростим выражение
\[y'=\frac{-2x^{4} -9x^{2} }{x^{5} } =\frac{-x^{2} (2x^{2} +9)}{x^{3*2} } =-\frac{2x^{2} +9}{x^{3} } \]