Понятие проекции фигуры на плоскость
Для введения понятия угла между прямой и плоскостью вначале необходимо разобраться в таком понятии, как проекция произвольной фигуры на плоскость.
Пусть нам дана произвольная точка $A$. Точка $A_1$ называется проекцией точки $A$ на плоскость $\alpha $, если она является основанием перпендикуляра, проведенного из точки $A$ на плоскость $\alpha $ (рис. 1).
Рисунок 1. Проекция точки на плоскость
Пусть нам дана произвольная фигура $F$. Фигура $F_1$ называется проекцией фигуры $F$ на плоскость $\alpha $, составленная из проекций всех точек фигуры $F$ на плоскость $\alpha $ (рис. 2).
Рисунок 2. Проекция фигуры на плоскость
Проекция не перпендикулярной плоскости прямой является прямая.
Доказательство.
Пусть нам дана плоскость $\alpha $ и пересекающая ее прямая $d$, не перпендикулярная ей. Выберем на прямой $d$ точку $M$ и проведем её проекцию $H$ на плоскость $\alpha $. Через прямую $(MH)$ проведем плоскость $\beta $. Очевидно, что эта плоскость будет перпендикулярна плоскости $\alpha $. Пусть они пересекаются по прямой $m$. Рассмотрим произвольную точку $M_1$ прямой $d$ и проведем через нее прямую $(M_1H_1$) параллельно прямой $(MH)$ (рис. 3).
Рисунок 3.
Так как плоскость $\beta $ перпендикулярна плоскости $\alpha $, то $M_1H_1$ перпендикулярно прямой $m$, то есть точка $H_1$ - проекция точки $M_1$ на плоскость $\alpha $. В силу произвольности выбора точки $M_1$ все точки прямой $d$ проецируются на прямую $m$.
Рассуждая аналогично. В обратном порядке, будем получать, что каждая точка прямой $m$ является проекцией какой-либо точки прямой $d$.
Значит, прямая $d$ проецируется на прямую $m$.
Теорема доказана.
Понятие угла между прямой и плоскостью
Угол между прямой, пересекающей плоскость и её проекцией на эту плоскость, называется углом между прямой и плоскостью (рис. 4).
Рисунок 4. Угол между прямой и плоскостью
Отметим здесь несколько замечаний.
Если прямая перпендикулярна к плоскости. То угол между прямой и плоскостью равен $90^\circ$.
Если прямая параллельна или лежит в плоскости. То угол между прямой и плоскостью равен $0^\circ$.
Примеры задач
Пусть нам дан параллелограмм $ABCD$ и точка $M$, не лежащая в плоскости параллелограмма. Доказать, что треугольники $AMB$ и $MBC$ являются прямоугольными, если точка $B$ -- проекция точки $M$ на плоскость параллелограмма.
Доказательство.
Изобразим условие задачи на рисунке (рис. 5).
Рисунок 5.
Так как точка $B$ -- проекция точки $M$ на плоскость $(ABC)$, то прямая $(MB)$ перпендикулярна плоскости $(ABC)$. По замечанию 1, получаем, что угол между прямой $(MB)$ и плоскостью $(ABC)$ равен $90^\circ$. Следовательно
\[\angle MBC=MBA={90}^0\]Значит, треугольники $AMB$ и $MBC$ являются прямоугольными.
ч. т. д.
Дана плоскость $\alpha $. Под углом $\varphi $ к этой плоскости проведен отрезок, начало которого лежит в данной плоскости. Проекция этого отрезка в два раза меньше самого отрезка. Найти величину $\varphi $.
Решение.
Рассмотрим рисунок 6.
Рисунок 6.
По условию, имеем
\[BD=2BC\]Так как треугольник $BCD$ прямоугольный, то, по определению косинуса
\[cos\varphi =\frac{BC}{BD}=\frac{BC}{2BC}=\frac{1}{2}\] \[\varphi =arccos\frac{1}{2}={60}^0\]Ответ: ${60}^0$.
