Для начала введем непосредственно определение квадратного уравнения.
Квадратным будем называть уравнение, которое имеет вид $αx^2+βx+γ=0$ (1), где $α≠0,γ \ и \ β$ являются действительными числами.
Рассмотрим далее два различных способа решения такого уравнения. В этой статье мы приведем метод его решения через формулы, а также с применением теоремы, приведенной Франсуа Виетом.
Решение с помощью формул
Рассмотрим
$αx^2+βx+γ=0$
Для начала умножим его обе части на $4α$, будем иметь
$4α^2 x^2+4αβx+4αγ=0$
Преобразуем его левую часть так, чтобы можно было использовать формулу суммы квадрата
$4α^2 x^2+4αβx+β^2-β^2+4αγ=0$
После этого будем получать
$(2αx+β)^2-β^2+4αγ=0$
$(2αx+β)^2=β^2-4αγ$
Теперь в этом полученном равносильном уравнении количество и вид корней зависит от значения его правой части. Введем следующее определение
Значение $β^2-4αγ$, составленное из коэффициентов уравнения (1) будем называть дискриминантом этого уравнения.
Обозначение: $D$
Теперь далее возможны три случая. Рассмотрим их по отдельности.
-
$D >0$
При таком случае наше уравнение будет иметь два корня. Чтобы разрешить этот случай сделаем такую замену:
$2αx+β=y$
Тогда
$y^2=D$
$y=±\sqrt{D}$
Возвращаясь
$2αx+β=±\sqrt{D}$
$x=\frac{±\sqrt{D}-β}{2α}$
-
$D=0$
Тогда, при той же замене
$y^2=0$
$y=0$
Возвращаясь
$2αx+β=0$
$x=\frac{-β}{2α}$
-
$D
В этом случае $y^2
Данный способ также верен и для случаев, когда коэффициент при x или свободный коэффициент равняются нулю, то есть уравнение является неполным.
Решить
$2x^2+\sqrt{7} x-7=0$
Решение.
Найдем для начала для нашего уравнения значение дискриминанта.
$D=(\sqrt{7})^2-4\cdot 2\cdot (-7)=7+56=63$
Так как $63$ – положительное число, то мы приходим к первому случаю (два корня). Найдем их по выше найденным формулам.
Первый корень:
$x=\frac{\sqrt{63}-\sqrt{7}}{2\cdot 2}=\frac{2\sqrt{7}}{4}=0,5\sqrt{7}$
Второй корень:
$x=\frac{-\sqrt{63}-\sqrt{7}}{2\cdot 2}=\frac{-4\sqrt{7}}{4}=-\sqrt{7}$
Ответ: $0,5\sqrt{7} \ и \ -\sqrt{7}$.
Теорема Виета
Приведем и докажем здесь теорему Франсуа Виета.
Для приведенного квадратного уравнения сумма его корней равняется числу, противоположному второму коэффициенту этого уравнения, а их произведение равняется свободному коэффициенту этого же уравнения.
Для уравнения (1) математически это можно записать так:
$α=1, x_1+x_2=-β, x_1 x_2=γ$
Доказательство.
Так как корней два, то они будут иметь следующий вид (выведенный нами ранее):
$x_1=\frac{\sqrt{D}-β}{2}$
$x_1=\frac{-\sqrt{D}-β}{2}$
с учетом того, что α равняется единице.
Найдем их сумму:
$x_1+x_2=\frac{\sqrt{D}-β}{2}+\frac{-\sqrt{D}-β}{2}=\frac{-2β}{2}=-β$
Теперь найдем их произведение:
$x_1 x_2=\frac{\sqrt{D}-β}{2} \frac{-\sqrt{D}-β}{2}=-\frac{(\sqrt{D}-β)(\sqrt{D}+β)}{4}=-\frac{D-β^2}{4}$
Введем значение дискриминанта
$x_1 x_2=-\frac{β^2-4γ-β^2}{4}=\frac{4γ}{4}=γ$ Теорема доказана.
Решение с помощью теоремы Виета
Для теоремы 1 также справедлива и обратная теорема. Введем ее (без доказательства).
Если сумма двух чисел равняется $–β$, а их же произведение равняется γ, то они будут являться корнями уравнения, имеющего вид $x^2+βx+γ=0$
С помощью этой теоремы мы может решать квадратные уравнения, при условии, что первый коэффициент равняется 1.
Решить
$x^2+3x-4=0$
Решение.
Обозначим корни нашего уравнения через $x_1$ и $x_2$. Тогда для его решения нам нужно разрешить следующую систему:
$\cases{x_1+x_2=-3,\\x_1 x_2=-4.}$
Чаще всего решения таких систем находим в уме. В этом и смысл применения обратной теоремы Виета для разрешения таких уравнений – как более рационального способа, чем использование формул.
В нашем случае получаем
Ответ: $1$ и $-4$.
