Предварительные сведения
Вначале рассмотрим непосредственно понятие треугольника.
Треугольником будем называть геометрическую фигуру, которая составлена из трех точек, соединенных между собой отрезками (рис. 1).
Точки в рамках определения 1 будем называть вершинами треугольника.
Статья: Сумма углов треугольника. Теорема о сумме углов треугольника
Отрезки в рамках определения 1 будем называть сторонами треугольника.
Очевидно, что любой треугольник будет иметь 3 вершин, а также три стороны.
Теорема о сумме углов в треугольнике
Введем и докажем одну из основных теорем, связанную с треугольников, а именно теорему о сумме углов в треугольнике.
Сумма углов в любом произвольном треугольнике равняется $180^\circ$.
Доказательство.
Рассмотрим треугольник $EGF$. Докажем, что сумма углов в этом треугольнике равняется $180^\circ$. Сделаем дополнительное построение: проведем прямую $XY||EG$ (рис. 2)
Так как прямые $XY$ и $EG$ параллельны, то $∠E=∠XFE$ как накрест лежащие при секущей $FE$, а $∠G=∠YFG$ как накрест лежащие при секущей $FG$
Угол $XFY$ будет развернутым, следовательно, равняется $180^\circ$.
Получим
$∠XFY=∠XFE+∠F+∠YFG=180^\circ$
Следовательно
$∠E+∠F+∠G=180^\circ$
Теорема доказана.
Теорема о внешнем угле треугольника
Еще одной теоремой о сумме углов для треугольника можно считать теорему о внешнем угле. Для начала введем это понятие.
Внешним углом треугольника будем называть такой угол, который будет смежным с каким-либо углом треугольника (рис. 3).
Рассмотрим теперь непосредственно теорему.
Внешний угол треугольника равняется сумме двух углов треугольника, которые не являются смежным для него.
Доказательство.
Рассмотрим произвольный треугольник $EFG$. Пусть он имеет внешний угол треугольника $FGQ$ (рис. 3).
По теореме 1 ,будем иметь, что $∠E+∠F+∠G=180^\circ$, следовательно,
$∠G=180^\circ-(∠E+∠F)$
Так как угол $FGQ$ внешний, то он смежен с углом $∠G$, тогда
$∠FGQ=180^\circ-∠G=180^\circ-180^\circ+(∠E+∠F)=∠E+∠F$
Теорема доказана.
Пример задач
Найти все углы треугольника, если он является равносторонним.
Решение.
Так как у равностороннего треугольника все стороны равны, то будем иметь, что и все углы в нем также равны между собой. Обозначим их градусные меры через $α$.
Тогда, по теореме 1 будем получать
$α+α+α=180^\circ$
$3α=180^\circ$
$α=60^\circ$
Ответ: все углы равняются по $60^\circ$.
Найти все углы равнобедренного треугольника, если один его угол равняется $100^\circ$.
Решение.
Введем следующие обозначения углов в равнобедренном треугольнике:
Так как нам не дано в условии, какой именно угол равняется $100^\circ$, то возможны два случая:
Угол, равный $100^\circ$ - угол при основании треугольника.
По теореме об углах при основании равнобедренного треугольника получим
$∠2=∠3=100^\circ$
Но тогда только их сумма будет больше, чем $180^\circ$, что противоречит условию теоремы 1. Значит, этот случай не имеет места.
Угол, равный $100^\circ$ - угол между равными сторонами, то есть
$∠1=100^\circ$
Так как треугольник равнобедренный, то $∠2=∠3$,
По теореме 1, получим
$∠1+∠2+∠3=180^\circ$
$2∠2+100^\circ=180^\circ$
$2∠2=80^\circ$
$∠2=40^\circ$
Ответ: $40^\circ$, $40^\circ$, $100^\circ$.
Найти угол $XZO$ на рисунке 4, если $∠XOZ=45^\circ$, а $∠Y=25^\circ$
Решение.
Так как у равнобедренного треугольника углы при основании равны, то получим, что $∠X=∠Y=25^\circ$
Из треугольника $XOZ$, по теореме 1, получим
$∠X+∠XOZ+∠XZO=180^\circ$
Тогда
$∠XZO=180^\circ-∠X-∠XOZ=180^\circ-25^\circ-45^\circ=110^\circ$
Ответ: $110^\circ$.
Найти угол $XOZ$ на рисунке 4, если $∠XZO=45^\circ$, а $∠Y=25^\circ$
Решение.
Так как у равнобедренного треугольника углы при основании равны, то получим, что $∠X=∠Y=25^\circ$
Из треугольника $XYZ$, по теореме 1, получим
$∠X+∠Y+∠Z=180^\circ$
$∠Z=180^\circ-∠X-∠Y=180^\circ-25^\circ-25^\circ=130^\circ$
$∠OZY=∠Z-∠XZO=130^\circ-45^\circ=85^\circ$
По теореме 2, получим
$∠XOZ=∠OZY+∠Y=85^\circ+25^\circ=110^\circ$
Ответ: $110^\circ$.
