Предварительные сведения
Для начала введем сведения и обозначения, которые будут необходимы нам в дальнейшем.
Будем рассматривать прямоугольный треугольник $ABC$ с длинами катетов, равными $BC=a$ и $AC=b$ и длиной гипотенузы, равной $AB=c$ (рис. 1).
Рисунок 1.
Введем без доказательств теоремы о площади квадрата и треугольника.
Площадь квадрата определяется как квадрат длины его стороны, то есть
\[S=a^2\]Площадь треугольника определяется как половина произведения длины его стороны, на высоту, проведенную к ней, то есть
\[S=\frac{1}{2}ah\]Теорема Пифагора
Теперь введем и докажем теорему, которая носит название теоремы Пифагора.
Сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равняется квадрату гипотенузы этого треугольника.
Математически это можно записать следующим образом:
\[a^2+b^2=c^2\]Доказательство.
Пусть нам дан прямоугольный треугольник с обозначениями, как на рисунке 1. Достроим его до квадрата со стороной, равной $a+b$ (рис. 2).
Рисунок 2.
Этот квадрат состоит из четырех равных исходному прямоугольных треугольника и квадрата, со стороной $c$.
Площадь $S$ этого квадрата, по теореме 1, равняется
\[S={(a+b)}^2=a^2+2ab+b^2\]а площадь $S''$ «малого» квадрата равняется
\[S''=c^2\]По теореме 2, площадь прямоугольного треугольника $S'$ равняется
\[S'=\frac{1}{2}ab\]По основному свойству площади многоугольника получим
\[S=S^{''}+4S'\] \[a^2+2ab+b^2=c^2+2ab\] \[a^2+b^2=c^2\]Теорема доказана.
Теорема, обратная теореме Пифагора
Если в произвольном треугольнике со сторонами $a,\ b,\ c$ (где $c$ - большая сторона) выполняется равенство
\[a^2+b^2=c^2\]то этот треугольник будет прямоугольным.
Доказательство.
Пусть нам дан прямоугольный треугольник с обозначениями, как на рисунке 1. Построим прямоугольный треугольник $A'B'C'$ с прямым углом $C$ так, что $A'C'=AC,\ B'C'=BC$. Применяя теорему Пифагора, получим
\[{(A'B')}^2={(A'C')}^2+{(B'C')}^2\] \[{(A'B')}^2=a^2+b^2\]Следовательно, ${(A'B')}^2={AB}^2,\ \ значит\ AB=A'B'$.
По $III$ признаку равенства треугольников
\[\triangle ABC=\triangle A'B'C'\]Значит, угол $C$ прямой и треугольник $ABC$ прямоугольный.
Теорема доказана.
Примеры задач
Найти основание равнобедренного прямоугольного треугольника, если его боковая сторона равняется $8$ см.
Решение.
Обозначим основание треугольника через $x$.
Так как треугольник является прямоугольным, то для нахождения основания воспользуемся теоремой Пифагора (теорема 3). Получим
\[x^2=8^2+8^2\] \[x^2=64+64\] \[x^2=128\] \[x=\sqrt{128}=8\sqrt{2}\]Ответ: $8\sqrt{2}$.
Дан треугольник со следующими сторонами:
а) $5, 12, 13$.
б) $6, 5, 4$.
в) $3, 4, 5$.
Найти среди них прямоугольные.
Решение.
Для решения будем пользоваться теоремой. Обратной теореме Пифагора (теорема 4), подставляя значения в равенство $a^2+b^2=c^2$ и проверяя его истинность.
а) Подставляя, получим
\[{13}^2={12}^2+5^2\] \[169=169-верно\]Значит, треугольник является прямоугольным.
б) Подставляя, получим
\[6^2=4^2+5^2\] \[36=41-неверно\]Значит, треугольник не является прямоугольным.
в) Подставляя, получим
\[5^2=4^2+3^2\] \[25=25-верно\]Значит, треугольник является прямоугольным.
Отметим, что прямоугольные треугольники с целыми значениями длин сторон называются пифагоровыми (пример -- пункт а), а со значениями сторон $3$, $4$ и $5$ -- египетским (пример -- пункт в).
