Работа выполнена на отлично,автор выполнил в срок.Заказываю у этого автора не в первый раз,все быстро и качественно.Рекомендую
Информация о работе
Подробнее о работе
Вычисление определённых интегралов по формуле трапеции.
- 17 страниц
- 2014 год
- 350 просмотров
- 0 покупок
Гарантия сервиса Автор24
Уникальность не ниже 50%
Фрагменты работ
Введение
В приложениях математики часто приходиться сталкиваться с вычислением определенного интеграла
I=∫_a^b▒f(x)dx (1)
от некоторой интегрируемой на отрезке [a;b] функции f. Существует точный метод вычисления определенных интегралов, который заключается в применении формулы Ньютона-Лейбница
∫_a^b▒f(x)dx=F(a)-F(b)
где F(x) – первообразная функции f(x). Однако эта формула не всегда применима и часто приходиться сталкиваться с «проблемными» интегралами.
К таким проблемным интегралам можно отнести интегралы от функций, первообразные которых не выражаются через элементарные функции. Часто бывает, что первообразные подынтегральных функций существуют, но сами интегралы трудно вычислимы.
Получается, что в подобных ситуациях применение формулы Ньютона-Лейбница либо невозможно, либо весьма затруднительно. Тем не менее, существуют приближенные методы вычисления определенных интегралов. И эти методы зачастую позволяют получить значение интеграла с высокой точностью.
Выделяют два класса приближенных методов вычисления определенных интегралов. Первый включает в себя так называемые аналитические методы, второй – численные. Аналитические методы в основном сводятся к замене подынтегральной функции некоторой другой функцией, чью производную нетрудно отыскать. Численные методы заключаются в том, что приближение к интегралу отыскивается по числовому выражению на основе значений подынтегральной функции на конечном множестве точек из отрезка интегрирования. Этот способ вычислений также называют механической квадратурой, соответствующие приближенные формулы называют формулами численного интегрирования или квадратурными формулами, а используемые при этом аргументы функции — узлами квадратуры.
В этой работе рассматривается численный метод вычисления определенных интегралов, основанный на применении формулы трапеции. При этом для получения квадратурных формул подынтегральная функция на частичных отрезках заменяется соответствующими интерполяционными многочленами.
Прейдем к формулировке целей и задач работы.
Цель работы: изучить численный метод вычисления определенных интегралов, основанный на формуле трапеции.
Задачи работы: получить формулу трапеций, выяснить ее геометрический смысл, оценить погрешность метода, а также применить формулу трапеций для вычисления определенных интегралов.
Оглавление
Введение 3
1 Формула трапеций 5
1.1 Вывод основной формулы 5
1.2 Геометрический смысл формулы трапеций 6
1.3 Оценка погрешностей 7
2 Применение формулы трапеций для вычисления определенных интегралов 10
Заключение 15
Список используемой литературы 17
Заключение
В математических приложениях часто встречаются различные задачи на вычисление определенных интегралов, причем очень часто бывает так, что подынтегральная функция не имеет первообразной, которая выражалась бы в элементарных функциях. Бывает также, что вычисление определенных интегралов весьма затруднительно и требует большого количество времени. Также иногда приходится сталкиваться с функциями, которые заданы таблично, то есть с функциями, аналитический вид которых не известен. Это, конечно же, вызывает трудности при работе с подобными математическими объектами. Тем не менее, существуют различные приближенные методы вычисления определенных интегралов. Одним из таких методов является метод, основанный на формуле трапеций.
Сам по себе определенный интеграл от произвольной непрерывной функции можно понимать как ориентированную площадь криволинейной трапеции. В связи с этим основная идея метода заключается в замене задачи вычисления площади криволинейной трапеции на задачу вычисления суммы площадей прямоугольных трапеций. Последняя задача, очевидно, намного проще. Формула трапеций позволяет приближенно вычислять интегралы от функций, не имеющих первообразных, выражающихся в элементарных функциях. Также она позволяет вычислять и интегралы от функций заданных таблично.
Погрешность формулы трапеции можно оценить для класса дважды непрерывно дифференцируемых функций. В случае таких функций погрешность обратно пропорциональна квадрату числа узлов разбиения. Данный факт позволяет увеличивать точность вычисления интеграла за счет уменьшения шага разбиения. Можно добиться сколь угодно высокой точности вычисления.
Таким образом, можно заключить, что метод вычисления определенных интегралов, основанный на формуле трапеций, является эффективным инструментом, позволяющим избежать трудностей при подсчете сложных определенных интегралов.
Список используемой литературы
1. Бахвалов Н.С. Численные методы. — М.: Наука, 1973.
2. Березин И. С, Жидков Н.П. Методы вычислений. Т. 1. — М.: Наука,
1966; Т. 2. - М.: Физматгиз, 1962.
3. Бохан К. А., Егорова И. А., Лащенов К.В. Курс математического анализа. Т. 1. — М.: Просвещение, 1972.
4. Бохан К. А., Егорова И. А., Лащенов К. В. Курс математического анализа. Т. 2. — М.: Просвещение, 1972.
5. Вычислительная математика / Н.И.Данилина, Н.С.Дубровская,
О. П. Квант, ГЛ. Смирнов. - М.: Высшая школа, 1985.
6. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. —
М.: Наука, 1970.
7. В.А. Зорич. Математический анализ. Том 1. – М.: Фазис, 1997
8. Исаков, В.Б. Элементы численных методов: Учебное пособие для студентов, обучающихся по специальности Математика группы Педагогические специал. - М.: Академия, 2003
Форма заказа новой работы
Не подошла эта работа?
Закажи новую работу, сделанную по твоим требованиям
